Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)

 

Пружинный маятник состоит из пружины и массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. Пусть на пружине укреплен шарик с отверстием, который скользит вдоль направляющей оси (стержня). На рис. 7.2,а показано положение шара в состоянии покоя; на рис. 7.2,б - максимальное сжатие и на рис. 7.2,в -произвольное положение шарика.

Под действием возвращающей силы, равной силе сжатия, шарик будет совершать колебания. Сила сжатия F = -kx , где k - коэффициент жесткости пружины. Знак минус показывает, что направление силы F и смещение х противоположны. Потенциальная энергия сжатой пружины

 кинетическая .

Для вывода уравнения движения шарика необходимо связать х и t. Вывод основывается на законе сохранения энергии. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы. В данном случае :

.

В положении б)  :

.

Так как в рассматриваемом движении выполняется закон сохранения механической энергии, можно записать:

.

Определим отсюда скорость:

Но в свою очередь  и, следовательно,

.

Разделим переменные

.

Интегрируя это выражение, получим:

,

где  - постоянная интегрирования.

Из последнего следует, что

 (7.2)

Сравнивая (7.1) с (7.2), получаем

 (7.3)

Таким образом, под действием упругой силы тело совершает гармонические колебания. Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx, называются квазиупругими. Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания. При этом:

смещение:

скорость: >

ускорение: