Преобразования Лоренца

 

Исходя из сформулированных выше постулатов теории относительности Эйнштейна, можно найти законы преобразований, связывающие межу собой пространственные координаты и время в двух системах отсчета, движущихся прямолинейно и равномерно относительно друг друга.

Пусть х, у, z, и х’, у’, z’ и t’,- координаты и время в инерциальных систем отсчета K и K’, а v - скорость их относительного движения (рис. 6.1).

При этом нет никаких оснований полагать, что время в системе К’ совпадает со временем в системе K, как это безоговорочно принималось в классической физике. Для просторы выкладок выберем направление скорости за направление осей х и x’. Предположим, что в некоторый момент времени t’ в точке с координатами x’,y’,z’ происходит некоторый физический процесс, который назовем событием. Нашей задачей является нахождение «координат» события в системе отсчета K’, т.е. нахождение величин х, y, z, t, характеризующих тот же физический процесс в системе K.

Выберем за начало отсчета времени t=0 тот момент, в который начало координат системы K’ совпадало с началом координат системы K. Пусть в момент времени t=0 из начала координат начала распространяться сферическая электромагнитная волна (рис.6.2). В системе K уравнение волновой поверхности имеет вид.

x²+y²+z²=c²t² или x²+y²+z²-c²t²=0 (6.1)

Поскольку, согласно принципу относительности Эйнштейна, закон и величина скорости распространения волны должны быть одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета, наряду с этим уравнением с равным правом можно написать уравнение сферической волны в системе K’.

(x’)²+(y’)²+(z’)²-c²(t’)2=0

Так как в начальный момент времени начало координат систем совпадали, то x’²+y’²+z’²-c²t’²= X²+y²+z²-c²t² (6.2)

Формулы преобразования координат и времени должны, во-первых, не нарушать соотношений (6.1) и (6.2), а, во-вторых, быть линейными. Требования линейности связано с однородностью пространства. Т.к. движение системы K’ происходит только вдоль оси х преобразование координат у и z должно иметь вид

y’=y, z’=z

Закон преобразования х’ через х можно написать, исходя из следующего соображения: если в момент времени t=0 начала систем координат K и K’ совпадали, то координата плоскости х’ в системе K запишется х=νt. Следовательно, в самом общем случае можно написать  (6.3)

где коэффициент  может зависеть лишь от скорости относительного движения. Не делая никаких произвольных допущений о совпадении времени в двух системах отсчета, мы можем представить t’ в виде линейной однородной функции х и t

  (6.4)

Коэффициенты  и  могут, вообще говоря, зависеть от скорости v. Если бы оказалось, что , а , то мы вернулись бы к преобразованиям Галилея. Для определения коэффициентов ,  и , отвечающих Требованиям принципа относительности Эйнштейна, мы должны подставить (6.3) и (6.5) в (6.2). Это дает

Для выполнения тождества необходимо приравнять коэффициенты при х2,t2и хt. Раскрыв скобки и проведя соответствующие преобразования получим:

Из этих трех уравнений находим неизвестные величины коэффициентов ,  и ,:

При этом всюду мы выбрали положительный знак корня. Подставляя значения ,  и  в преобразования координат (6.3) и (6.4) находим:

 (6.5)

Эти формулы носят название преобразований Лоренца. Формулы обратного преобразования от штрихованных к не штрихованным величинам:    (6.6)

Преобразования Лоренца приводят к выводам, коренным образом противоречащим привычным представлениям о свойствах времени и пространства, сложившимся на основе повседневного опыта. Рассмотрим несколько примеров применения преобразований Лоренца.