Затухающие колебания
Все реальные колебательные системы являются диссипативными.
Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу
против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда
постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в
первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы,
вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти
силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.
(7.17)
где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения.
Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ ma=-kx-rv
или (7.18)
Перепишем это уравнение в следующем виде:
>
и обозначим:
где ω02 представляет ту частоту,
с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии
сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой
колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда
(7.19)
Будем искать решение уравнения (7.19) в виде
где U - некоторая функция от t.
Продифференцируем два раза это выражение по времени t и,
подставив значения первой и второй производных в уравнение (7.19), получим
Решение этого, уравнения существенным образом зависит от
знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент
положительный. Введем обозначение ω02-β2=ω2
тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является
функция
Таким образом, в случае малого сопротивления среды (ω02>β2)
, решением уравнения (7.19) будет функция
(7.20)
График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями
показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину называют
собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие
колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не
повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения.
Величину обычно
называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом
затухающих колебаний,
Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих
друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют
логарифмическим декрементом затухания.
Обозначим через τ промежуток времени, за который
амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда
откуда
Следовательно, коэффициент затухания есть физическая
величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда
убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда
уменьшается в е раз, Тогда
Следовательно, логарифмический декремент затухания δ
есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого
амплитуда убывает в е раз