Математический и физический маятники
Математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка,
подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение
в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный
на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его
отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы
F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая
составляющая F’ , направленная вдоль нити, не
учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах
смещения и,тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3
видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена
в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического
маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
Момент силы относительно точки О:M=lF , и момент инерции:
Момент инерции J в данном случае
Угловое ускорение:
С учетом этих величин имеем:
Или
(7.8)
Его решение ,где и (7.9)
Как видим, период колебаний математического маятника зависит
от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.
Физический маятник.
Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное
на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр
тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы
тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать
точечной.
При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический
маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес
физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая
возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая
силы тяжести – сила F.
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена
в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического
маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
Момент силы: определить в явном виде нельзя. С
учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний
физического маятника имеет вид:
(7.10)
(7.11)
Решение этого уравнения
Определим длину l математического маятника, при которой
период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. Тмат.=Тфиз.
или
.
Из этого соотношения определяем
Данная формула определяет приведенную длину физического
маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого
равен периоду колебаний данного физического маятника.